An arithmetic sequence is a sequence of numbers where the difference between consecutive terms is constant. This constant difference is called the common difference (d).
Example: 2, 5, 8, 11, 14, ... (common difference = 3)
തുടർച്ചയായുള്ള പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായിരിക്കുന്ന സംഖ്യാക്രമമാണ് സമാന്തര ശ്രേണി. ഈ സ്ഥിര വ്യത്യാസത്തെ സമാന വ്യത്യാസം (d) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം: 2, 5, 8, 11, 14, ... (സമാന വ്യത്യാസം = 3)
An arithmetic sequence is a sequence of numbers where the difference between consecutive terms is constant. This constant difference is called the common difference.
General form: a, a+d, a+2d, a+3d, ...
Where:
Find the first 5 terms of an arithmetic sequence where a = 3 and d = 4
Using the formula aₙ = a + (n-1)d:
1st term (n=1): 3 + (1-1)4 = 3
2nd term (n=2): 3 + (2-1)4 = 7
3rd term (n=3): 3 + (3-1)4 = 11
4th term (n=4): 3 + (4-1)4 = 15
5th term (n=5): 3 + (5-1)4 = 19
Therefore, the first 5 terms are: 3, 7, 11, 15, 19
Find the sum of the first 10 terms of the sequence: 2, 5, 8, 11, ...
Given: a = 2, d = 3, n = 10
Using the sum formula: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
S₁₀ = 10/2 [2(2) + (10-1)3]
S₁₀ = 5 [4 + 27]
S₁₀ = 5 × 31
S₁₀ = 155
Therefore, the sum of first 10 terms is 155
Find three numbers in arithmetic sequence if their sum is 21 and the middle number is 7.
Given:
Let's solve step by step:
1. Let's say the numbers are (a-d), a, (a+d) where:
2. Using the sum condition:
(a-d) + a + (a+d) = 21
3. Substitute a = 7:
(7-d) + 7 + (7+d) = 21
21 = 21
4. Since this is true for any value of d, we can choose d = 2
Therefore, the three numbers are:
First number = 7 - 2 = 5
Second number = 7
Third number = 7 + 2 = 9
Verify: 5, 7, 9 form an AP with d = 2 and sum = 21
In an arithmetic sequence with first term 3 and last term 31, if the common difference is 4, find the number of terms.
Given:
Using the formula: l = a + (n-1)d
31 = 3 + (n-1)4
31 = 3 + 4n - 4
31 = 4n - 1
32 = 4n
n = 8
Verify:
Terms: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31
There are 8 terms in the sequence
A theater has 15 rows of seats. The first row has 20 seats, and each subsequent row has 2 more seats than the row in front of it. Find:
Given:
1. To find seats in last row:
Using formula: l = a + (n-1)d
l = 20 + (15-1)2
l = 20 + 28
l = 48 seats
2. To find total seats:
Using formula: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]
S₁₅ = 15/2[2(20) + (15-1)2]
S₁₅ = 15/2[40 + 28]
S₁₅ = 15/2[68]
S₁₅ = 510 seats
സമാന്തര ശ്രേണി എന്നത് തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായ ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയാണ്. ഈ സ്ഥിരമായ വ്യത്യാസത്തെ സമാന വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പൊതുരൂപം: a, a+d, a+2d, a+3d, ...
ഇവിടെ:
a = 3, d = 4 ആയ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ 5 പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
aₙ = a + (n-1)d എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക:
1-ആം പദം (n=1): 3 + (1-1)4 = 3
2-ആം പദം (n=2): 3 + (2-1)4 = 7
3-ആം പദം (n=3): 3 + (3-1)4 = 11
4-ആം പദം (n=4): 3 + (4-1)4 = 15
5-ആം പദം (n=5): 3 + (5-1)4 = 19
അതിനാൽ, ആദ്യ 5 പദങ്ങൾ: 3, 7, 11, 15, 19
2, 5, 8, 11, ... എന്ന ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക
തന്നിരിക്കുന്നത്: a = 2, d = 3, n = 10
തുകയുടെ സൂത്രവാക്യം: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
S₁₀ = 10/2 [2(2) + (10-1)3]
S₁₀ = 5 [4 + 27]
S₁₀ = 5 × 31
S₁₀ = 155
അതിനാൽ, ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുക 155 ആണ്
മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ തുക 21 ഉം മധ്യസംഖ്യ 7 ഉം ആണെങ്കിൽ, സമാന്തര ശ്രേണിയിലുള്ള ആ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്:
ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
1. സംഖ്യകൾ (a-d), a, (a+d) എന്നിങ്ങനെയാണെന്ന് കരുതാം, ഇവിടെ:
2. തുകയുടെ നിബന്ധന ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ:
(a-d) + a + (a+d) = 21
3. a = 7 ചേർക്കുമ്പോൾ:
(7-d) + 7 + (7+d) = 21
21 = 21
4. ഏത് d വിലയ്ക്കും ഇത് ശരിയായതിനാൽ, d = 2 എടുക്കാം
അതിനാൽ, മൂന്ന് സംഖ്യകൾ:
ആദ്യ സംഖ്യ = 7 - 2 = 5
രണ്ടാം സംഖ്യ = 7
മൂന്നാം സംഖ്യ = 7 + 2 = 9
പരിശോധന: 5, 7, 9 എന്നിവ d = 2 ആയ സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്, തുക = 21
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ആദ്യപദം 3 ഉം അവസാന പദം 31 ഉം സമാന വ്യത്യാസം 4 ഉം ആണെങ്കിൽ, പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്:
സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ: l = a + (n-1)d
31 = 3 + (n-1)4
31 = 3 + 4n - 4
31 = 4n - 1
32 = 4n
n = 8
പരിശോധന:
പദങ്ങൾ: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31
ശ്രേണിയിൽ 8 പദങ്ങൾ ഉണ്ട്
ഒരു തിയേറ്ററിൽ 15 നിരകളിലായി സീറ്റുകൾ ഉണ്ട്. ആദ്യ നിരയിൽ 20 സീറ്റുകൾ ഉണ്ട്, ഓരോ അടുത്ത നിരയേക്കാൾ 2 സീറ്റുകൾ കൂടുതലാണ്. കണ്ടെത്തുക:
തന്നിരിക്കുന്നത്:
1. അവസാന നിരയിലെ സീറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ:
സൂത്രവാക്യം: l = a + (n-1)d
l = 20 + (15-1)2
l = 20 + 28
l = 48 സീറ്റുകൾ
2. ആകെ സീറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ:
സൂത്രവാക്യം: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]
S₁₅ = 15/2[2(20) + (15-1)2]
S₁₅ = 15/2[40 + 28]
S₁₅ = 15/2[68]
S₁₅ = 510 സീറ്റുകൾ
In an arithmetic sequence, the 5th term is 17 and the 9th term is 29. Find the common difference and the first term.
Let's solve this step by step:
Given: a₅ = 17 and a₉ = 29
Using the formula: aₙ = a + (n-1)d
For 5th term: 17 = a + 4d ...(1)
For 9th term: 29 = a + 8d ...(2)
Subtracting (1) from (2):
12 = 4d
Therefore, d = 3
Substituting d = 3 in (1):
17 = a + 4(3)
17 = a + 12
Therefore, a = 5
Answer: Common difference (d) = 3, First term (a) = 5
The sum of the first n terms of an arithmetic sequence is given by Sₙ = 3n² + 2n. Find the first term and common difference.
Given: Sₙ = 3n² + 2n
For n = 1: S₁ = 3(1)² + 2(1) = 5
First term (a) = 5
For n = 2: S₂ = 3(2)² + 2(2) = 16
Second term = 16 - 5 = 11
Common difference (d) = 11 - 5 = 6
Answer: First term = 5, Common difference = 6
In an arithmetic sequence, the sum of the first 10 terms is 200 and the sum of the first 20 terms is 600. Find the first term and common difference.
Given: S₁₀ = 200, S₂₀ = 600
Using the sum formula: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
For 10 terms: 200 = 10/2 [2a + 9d]
40 = 2a + 9d ...(1)
For 20 terms: 600 = 20/2 [2a + 19d]
60 = 2a + 19d ...(2)
Subtracting (1) from (2):
20 = 10d
Therefore, d = 2
Substituting d = 2 in (1):
40 = 2a + 9(2)
40 = 2a + 18
22 = 2a
Therefore, a = 11
Answer: First term = 11, Common difference = 2
The 3rd term of an arithmetic sequence is 12 and the 7th term is 28. Find the 15th term.
Given: a₃ = 12, a₇ = 28
Using the formula: aₙ = a + (n-1)d
For 3rd term: 12 = a + 2d ...(1)
For 7th term: 28 = a + 6d ...(2)
Subtracting (1) from (2):
16 = 4d
Therefore, d = 4
Substituting d = 4 in (1):
12 = a + 2(4)
12 = a + 8
Therefore, a = 4
Now, for 15th term:
a₁₅ = 4 + (15-1)4
a₁₅ = 4 + 56
a₁₅ = 60
Answer: 15th term = 60
The sum of the first n terms of an arithmetic sequence is given by Sₙ = 2n² + 5n. Find the first term, common difference, and the sum of the first 15 terms.
Given: Sₙ = 2n² + 5n
For n = 1: S₁ = 2(1)² + 5(1) = 7
First term (a) = 7
For n = 2: S₂ = 2(2)² + 5(2) = 18
Second term = 18 - 7 = 11
Common difference (d) = 11 - 7 = 4
Sum of first 15 terms:
S₁₅ = 2(15)² + 5(15)
S₁₅ = 2(225) + 75
S₁₅ = 450 + 75
S₁₅ = 525
Answer: First term = 7, Common difference = 4, Sum of first 15 terms = 525
In an arithmetic sequence, the 4th term is 15 and the 10th term is 39. Find the sum of the first 20 terms.
Given: a₄ = 15, a₁₀ = 39
Using the formula: aₙ = a + (n-1)d
For 4th term: 15 = a + 3d ...(1)
For 10th term: 39 = a + 9d ...(2)
Subtracting (1) from (2):
24 = 6d
Therefore, d = 4
Substituting d = 4 in (1):
15 = a + 3(4)
15 = a + 12
Therefore, a = 3
Sum of first 20 terms:
S₂₀ = 20/2 [2(3) + (20-1)4]
S₂₀ = 10 [6 + 76]
S₂₀ = 10 × 82
S₂₀ = 820
Answer: Sum of first 20 terms = 820
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ 5-ആം പദം 17 ഉം 9-ആം പദം 29 ഉം ആണ്. സമാന വ്യത്യാസവും ആദ്യപദവും കണ്ടെത്തുക.
നമുക്ക് ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
തന്നിരിക്കുന്നത്: a₅ = 17, a₉ = 29
സൂത്രവാക്യം: aₙ = a + (n-1)d
5-ആം പദത്തിന്: 17 = a + 4d ...(1)
9-ആം പദത്തിന്: 29 = a + 8d ...(2)
(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ:
12 = 4d
അതിനാൽ, d = 3
d = 3 (1) ൽ നൽകുമ്പോൾ:
17 = a + 4(3)
17 = a + 12
അതിനാൽ, a = 5
ഉത്തരം: സമാന വ്യത്യാസം (d) = 3, ആദ്യപദം (a) = 5
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക Sₙ = 3n² + 2n ആണ്. ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: Sₙ = 3n² + 2n
n = 1 ന്: S₁ = 3(1)² + 2(1) = 5
ആദ്യപദം (a) = 5
n = 2 ന്: S₂ = 3(2)² + 2(2) = 16
രണ്ടാം പദം = 16 - 5 = 11
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 11 - 5 = 6
ഉത്തരം: ആദ്യപദം = 5, സമാന വ്യത്യാസം = 6
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുക 200 ഉം ആദ്യ 20 പദങ്ങളുടെ തുക 600 ഉം ആണ്. ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: S₁₀ = 200, S₂₀ = 600
തുകയുടെ സൂത്രവാക്യം: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
10 പദങ്ങൾക്ക്: 200 = 10/2 [2a + 9d]
40 = 2a + 9d ...(1)
20 പദങ്ങൾക്ക്: 600 = 20/2 [2a + 19d]
60 = 2a + 19d ...(2)
(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ:
20 = 10d
അതിനാൽ, d = 2
d = 2 (1) ൽ നൽകുമ്പോൾ:
40 = 2a + 9(2)
40 = 2a + 18
22 = 2a
അതിനാൽ, a = 11
ഉത്തരം: ആദ്യപദം = 11, സമാന വ്യത്യാസം = 2
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ 3-ആം പദം 12 ഉം 7-ആം പദം 28 ഉം ആണ്. 15-ആം പദം കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: a₃ = 12, a₇ = 28
സൂത്രവാക്യം: aₙ = a + (n-1)d
3-ആം പദത്തിന്: 12 = a + 2d ...(1)
7-ആം പദത്തിന്: 28 = a + 6d ...(2)
(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ:
16 = 4d
അതിനാൽ, d = 4
d = 4 (1) ൽ നൽകുമ്പോൾ:
12 = a + 2(4)
12 = a + 8
അതിനാൽ, a = 4
15-ആം പദത്തിന്:
a₁₅ = 4 + (15-1)4
a₁₅ = 4 + 56
a₁₅ = 60
ഉത്തരം: 15-ആം പദം = 60
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക Sₙ = 2n² + 5n ആണ്. ആദ്യപദം, സമാന വ്യത്യാസം, ആദ്യ 15 പദങ്ങളുടെ തുക എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: Sₙ = 2n² + 5n
n = 1 ന്: S₁ = 2(1)² + 5(1) = 7
ആദ്യപദം (a) = 7
n = 2 ന്: S₂ = 2(2)² + 5(2) = 18
രണ്ടാം പദം = 18 - 7 = 11
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 11 - 7 = 4
ആദ്യ 15 പദങ്ങളുടെ തുക:
S₁₅ = 2(15)² + 5(15)
S₁₅ = 2(225) + 75
S₁₅ = 450 + 75
S₁₅ = 525
ഉത്തരം: ആദ്യപദം = 7, സമാന വ്യത്യാസം = 4, ആദ്യ 15 പദങ്ങളുടെ തുക = 525
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ 4-ആം പദം 15 ഉം 10-ആം പദം 39 ഉം ആണ്. ആദ്യ 20 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: a₄ = 15, a₁₀ = 39
സൂത്രവാക്യം: aₙ = a + (n-1)d
4-ആം പദത്തിന്: 15 = a + 3d ...(1)
10-ആം പദത്തിന്: 39 = a + 9d ...(2)
(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ:
24 = 6d
അതിനാൽ, d = 4
d = 4 (1) ൽ നൽകുമ്പോൾ:
15 = a + 3(4)
15 = a + 12
അതിനാൽ, a = 3
ആദ്യ 20 പദങ്ങളുടെ തുക:
S₂₀ = 20/2 [2(3) + (20-1)4]
S₂₀ = 10 [6 + 76]
S₂₀ = 10 × 82
S₂₀ = 820
ഉത്തരം: ആദ്യ 20 പദങ്ങളുടെ തുക = 820
The sum of the first n terms of an arithmetic sequence is 3n² + 5n. Find the first term and common difference.
Given: Sₙ = 3n² + 5n
For n = 1: S₁ = 3(1)² + 5(1) = 8
First term (a) = 8
For n = 2: S₂ = 3(2)² + 5(2) = 22
Second term = 22 - 8 = 14
Common difference (d) = 14 - 8 = 6
Answer: First term = 8, Common difference = 6
In an arithmetic sequence, the 4th term is 15 and the 10th term is 39. Find the 20th term.
Given: a₄ = 15, a₁₀ = 39
Using the formula: aₙ = a + (n-1)d
For 4th term: 15 = a + 3d ...(1)
For 10th term: 39 = a + 9d ...(2)
Subtracting (1) from (2):
24 = 6d
Therefore, d = 4
Substituting d = 4 in (1):
15 = a + 3(4)
15 = a + 12
Therefore, a = 3
Now, for 20th term:
a₂₀ = 3 + (20-1)4
a₂₀ = 3 + 76
a₂₀ = 79
Answer: 20th term = 79
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക 3n² + 5n ആണ്. ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: Sₙ = 3n² + 5n
n = 1 ന്: S₁ = 3(1)² + 5(1) = 8
ആദ്യപദം (a) = 8
n = 2 ന്: S₂ = 3(2)² + 5(2) = 22
രണ്ടാം പദം = 22 - 8 = 14
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 14 - 8 = 6
ഉത്തരം: ആദ്യപദം = 8, സമാന വ്യത്യാസം = 6
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ 4-ആം പദം 15 ഉം 10-ആം പദം 39 ഉം ആണെങ്കിൽ, 20-ആം പദം കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: a₄ = 15, a₁₀ = 39
സൂത്രവാക്യം: aₙ = a + (n-1)d
4-ആം പദത്തിന്: 15 = a + 3d ...(1)
10-ആം പദത്തിന്: 39 = a + 9d ...(2)
(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ:
24 = 6d
അതിനാൽ, d = 4
d = 4 (1) ൽ നൽകുമ്പോൾ:
15 = a + 3(4)
15 = a + 12
അതിനാൽ, a = 3
20-ആം പദത്തിന്:
a₂₀ = 3 + (20-1)4
a₂₀ = 3 + 76
a₂₀ = 79
ഉത്തരം: 20-ആം പദം = 79
How do I find the nth term of an arithmetic sequence when I only know two terms?
To find the nth term when you know two terms:
Example: If 3rd term is 12 and 7th term is 28
For 3rd term: 12 = a + 2d
For 7th term: 28 = a + 6d
Subtract: 16 = 4d, so d = 4
Substitute d = 4 in first equation: 12 = a + 8, so a = 4
Now you can find any term using aₙ = 4 + (n-1)4
When should I use the sum formula Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] vs Sₙ = n/2 (a + l)?
Use Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] when you know:
Use Sₙ = n/2 (a + l) when you know:
Both formulas give the same result, but one might be easier to use depending on the information given in the question.
How do I find the number of terms in an arithmetic sequence when I know the first term, last term, and common difference?
Use the formula for the nth term: aₙ = a + (n-1)d
Where:
Example: If first term is 3, last term is 23, and common difference is 2
23 = 3 + (n-1)2
20 = (n-1)2
10 = n-1
Therefore, n = 11
രണ്ട് പദങ്ങൾ മാത്രം അറിയുമ്പോൾ സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ n-ആം പദം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
രണ്ട് പദങ്ങൾ അറിയുമ്പോൾ n-ആം പദം കണ്ടെത്താൻ:
ഉദാഹരണം: 3-ആം പദം 12 ഉം 7-ആം പദം 28 ഉം ആണെങ്കിൽ
3-ആം പദത്തിന്: 12 = a + 2d
7-ആം പദത്തിന്: 28 = a + 6d
കുറയ്ക്കുമ്പോൾ: 16 = 4d, അതിനാൽ d = 4
d = 4 ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നൽകുമ്പോൾ: 12 = a + 8, അതിനാൽ a = 4
ഇപ്പോൾ aₙ = 4 + (n-1)4 എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഏത് പദവും കണ്ടെത്താം
Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] എന്ന സൂത്രവാക്യവും Sₙ = n/2 (a + l) എന്ന സൂത്രവാക്യവും എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കണം?
Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക:
Sₙ = n/2 (a + l) എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക:
രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഒരേ ഉത്തരം തരും, പക്ഷേ ചോദ്യത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കാൻ എളുപ്പമായിരിക്കും.
ആദ്യപദം, അവസാന പദം, സമാന വ്യത്യാസം അറിയുമ്പോൾ സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
n-ആം പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക: aₙ = a + (n-1)d
ഇവിടെ:
ഉദാഹരണം: ആദ്യപദം 3, അവസാന പദം 23, സമാന വ്യത്യാസം 2 ആണെങ്കിൽ
23 = 3 + (n-1)2
20 = (n-1)2
10 = n-1
Therefore, n = 11
Rahul saves ₹100 more each month than the previous month. If he saved ₹500 in the first month, how much will he save in the 12th month? What will be his total savings after 12 months?
This is an arithmetic sequence where:
First term (a) = ₹500
Common difference (d) = ₹100
To find 12th month savings:
a₁₂ = a + (12-1)d
a₁₂ = 500 + 11(100)
a₁₂ = 500 + 1100
a₁₂ = ₹1600
Total savings after 12 months:
S₁₂ = 12/2 [2(500) + (12-1)100]
S₁₂ = 6 [1000 + 1100]
S₁₂ = 6 × 2100
S₁₂ = ₹12,600
Answer: 12th month savings = ₹1600, Total savings = ₹12,600
A staircase has 20 steps. The height of each step increases by 2 cm from the previous step. If the first step is 10 cm high, what is the height of the 20th step? What is the total height of the staircase?
This is an arithmetic sequence where:
First term (a) = 10 cm
Common difference (d) = 2 cm
To find 20th step height:
a₂₀ = a + (20-1)d
a₂₀ = 10 + 19(2)
a₂₀ = 10 + 38
a₂₀ = 48 cm
Total height of staircase:
S₂₀ = 20/2 [2(10) + (20-1)2]
S₂₀ = 10 [20 + 38]
S₂₀ = 10 × 58
S₂₀ = 580 cm
Answer: 20th step height = 48 cm, Total height = 580 cm
In a school assembly, students stand in rows. The first row has 10 students, and each subsequent row has 2 more students than the previous row. How many students are there in the 8th row, and what is the total number of students in all 8 rows?
This is an arithmetic sequence where:
First term (a) = 10 students
Common difference (d) = 2 students
To find students in 8th row:
a₈ = a + (8-1)d
a₈ = 10 + 7(2)
a₈ = 10 + 14
a₈ = 24 students
Total students in all rows:
S₈ = 8/2 [2(10) + (8-1)2]
S₈ = 4 [20 + 14]
S₈ = 4 × 34
S₈ = 136 students
Answer: 8th row = 24 students, Total students = 136
A school's environmental club plants trees along a road. On day 1, they plant 5 trees. Each day after that, they plant 3 more trees than the previous day. How many trees will they plant on day 10, and what is the total number of trees planted in 10 days?
This is an arithmetic sequence where:
First term (a) = 5 trees
Common difference (d) = 3 trees
To find trees planted on day 10:
a₁₀ = a + (10-1)d
a₁₀ = 5 + 9(3)
a₁₀ = 5 + 27
a₁₀ = 32 trees
Total trees planted in 10 days:
S₁₀ = 10/2 [2(5) + (10-1)3]
S₁₀ = 5 [10 + 27]
S₁₀ = 5 × 37
S₁₀ = 185 trees
Answer: Day 10 = 32 trees, Total trees = 185
രാഹുൽ ഓരോ മാസവും മുൻ മാസത്തേക്കാൾ ₹100 കൂടുതൽ സമ്പാദിക്കുന്നു. ആദ്യ മാസം ₹500 സമ്പാദിച്ചെങ്കിൽ, 12-ആം മാസത്തിൽ എത്ര സമ്പാദിക്കും? 12 മാസത്തിന് ശേഷമുള്ള ആകെ സമ്പാദ്യം എത്ര?
ഇത് ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്, ഇവിടെ:
ആദ്യപദം (a) = ₹500
സമാന വ്യത്യാസം (d) = ₹100
12-ആം മാസത്തിലെ സമ്പാദ്യം കണ്ടെത്താൻ:
a₁₂ = a + (12-1)d
a₁₂ = 500 + 11(100)
a₁₂ = 500 + 1100
a₁₂ = ₹1600
12 മാസത്തിന് ശേഷമുള്ള ആകെ സമ്പാദ്യം:
S₁₂ = 12/2 [2(500) + (12-1)100]
S₁₂ = 6 [1000 + 1100]
S₁₂ = 6 × 2100
S₁₂ = ₹12,600
ഉത്തരം: 12-ആം മാസത്തിലെ സമ്പാദ്യം = ₹1600, ആകെ സമ്പാദ്യം = ₹12,600
ഒരു പടികളുടെ കൂട്ടത്തിൽ 20 പടികൾ ഉണ്ട്. ഓരോ പടിയുടെയും ഉയരം മുൻ പടിയേക്കാൾ 2 സെ.മീ. കൂടുതലാണ്. ആദ്യ പടിയുടെ ഉയരം 10 സെ.മീ. ആണെങ്കിൽ, 20-ആം പടിയുടെ ഉയരം എത്ര? പടികളുടെ ആകെ ഉയരം എത്ര?
ഇത് ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്, ഇവിടെ:
ആദ്യപദം (a) = 10 സെ.മീ.
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 2 സെ.മീ.
20-ആം പടിയുടെ ഉയരം കണ്ടെത്താൻ:
a₂₀ = a + (20-1)d
a₂₀ = 10 + 19(2)
a₂₀ = 10 + 38
a₂₀ = 48 സെ.മീ.
പടികളുടെ ആകെ ഉയരം:
S₂₀ = 20/2 [2(10) + (20-1)2]
S₂₀ = 10 [20 + 38]
S₂₀ = 10 × 58
S₂₀ = 580 സെ.മീ.
ഉത്തരം: 20-ആം പടിയുടെ ഉയരം = 48 സെ.മീ., ആകെ ഉയരം = 580 സെ.മീ.
ഒരു സ്കൂൾ അസംബ്ലിയിൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾ നിരകളിൽ നിൽക്കുന്നു. ആദ്യ നിരയിൽ 10 വിദ്യാർത്ഥികൾ ഉണ്ട്, ഓരോ അടുത്ത നിരയേക്കാൾ 2 വിദ്യാർത്ഥികൾ കൂടുതലാണ്. 8-ആം നിരയിൽ എത്ര വിദ്യാർത്ഥികൾ ഉണ്ട്, എല്ലാ 8 നിരകളിലുമായി ആകെ എത്ര വിദ്യാർത്ഥികൾ ഉണ്ട്?
ഇത് ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്, ഇവിടെ:
ആദ്യപദം (a) = 10 വിദ്യാർത്ഥികൾ
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 2 വിദ്യാർത്ഥികൾ
8-ആം നിരയിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം:
a₈ = a + (8-1)d
a₈ = 10 + 7(2)
a₈ = 10 + 14
a₈ = 24 വിദ്യാർത്ഥികൾ
എല്ലാ നിരകളിലെയും ആകെ വിദ്യാർത്ഥികൾ:
S₈ = 8/2 [2(10) + (8-1)2]
S₈ = 4 [20 + 14]
S₈ = 4 × 34
S₈ = 136 വിദ്യാർത്ഥികൾ
ഉത്തരം: 8-ആം നിര = 24 വിദ്യാർത്ഥികൾ, ആകെ വിദ്യാർത്ഥികൾ = 136
ഒരു സ്കൂളിലെ പരിസ്ഥിതി ക്ലബ് റോഡിനോട് ചേർന്ന് വൃക്ഷത്തൈകൾ നടുന്നു. ആദ്യ ദിവസം അവർ 5 വൃക്ഷത്തൈകൾ നട്ടു. അതിനുശേഷം ഓരോ ദിവസവും മുൻ ദിവസത്തേക്കാൾ 3 വൃക്ഷത്തൈകൾ കൂടുതൽ നടുന്നു. 10-ആം ദിവസം എത്ര വൃക്ഷത്തൈകൾ നടും, 10 ദിവസം കൊണ്ട് ആകെ എത്ര വൃക്ഷത്തൈകൾ നട്ടു?
ഇത് ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്, ഇവിടെ:
ആദ്യപദം (a) = 5 വൃക്ഷത്തൈകൾ
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 3 വൃക്ഷത്തൈകൾ
10-ആം ദിവസം നടുന്ന വൃക്ഷത്തൈകൾ:
a₁₀ = a + (10-1)d
a₁₀ = 5 + 9(3)
a₁₀ = 5 + 27
a₁₀ = 32 വൃക്ഷത്തൈകൾ
10 ദിവസത്തെ ആകെ വൃക്ഷത്തൈകൾ:
S₁₀ = 10/2 [2(5) + (10-1)3]
S₁₀ = 5 [10 + 27]
S₁₀ = 5 × 37
S₁₀ = 185 വൃക്ഷത്തൈകൾ
ഉത്തരം: 10-ആം ദിവസം = 32 വൃക്ഷത്തൈകൾ, ആകെ വൃക്ഷത്തൈകൾ = 185
The sum of the first n terms of an arithmetic sequence is given by Sₙ = 2n² + 3n. Find the first term, common difference, and the 10th term.
Given: Sₙ = 2n² + 3n
For n = 1: S₁ = 2(1)² + 3(1) = 5
First term (a) = 5
For n = 2: S₂ = 2(2)² + 3(2) = 14
Second term = 14 - 5 = 9
Common difference (d) = 9 - 5 = 4
For 10th term:
a₁₀ = 5 + (10-1)4
a₁₀ = 5 + 36
a₁₀ = 41
Answer: First term = 5, Common difference = 4, 10th term = 41
In an arithmetic sequence, the sum of the first 5 terms is 65 and the sum of the first 10 terms is 240. Find the first term and common difference.
Given: S₅ = 65, S₁₀ = 240
Using the sum formula: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
For 5 terms: 65 = 5/2 [2a + 4d]
26 = 2a + 4d ...(1)
For 10 terms: 240 = 10/2 [2a + 9d]
48 = 2a + 9d ...(2)
Subtracting (1) from (2):
22 = 5d
Therefore, d = 4.4
Substituting d = 4.4 in (1):
26 = 2a + 4(4.4)
26 = 2a + 17.6
8.4 = 2a
Therefore, a = 4.2
Answer: First term = 4.2, Common difference = 4.4
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക Sₙ = 2n² + 3n ആണ്. ആദ്യപദം, സമാന വ്യത്യാസം, 10-ആം പദം എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: Sₙ = 2n² + 3n
n = 1 ന്: S₁ = 2(1)² + 3(1) = 5
ആദ്യപദം (a) = 5
n = 2 ന്: S₂ = 2(2)² + 3(2) = 14
രണ്ടാം പദം = 14 - 5 = 9
സമാന വ്യത്യാസം (d) = 9 - 5 = 4
10-ആം പദത്തിന്:
a₁₀ = 5 + (10-1)4
a₁₀ = 5 + 36
a₁₀ = 41
ഉത്തരം: ആദ്യപദം = 5, സമാന വ്യത്യാസം = 4, 10-ആം പദം = 41
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ആദ്യ 5 പദങ്ങളുടെ തുക 65 ഉം ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുക 240 ഉം ആണ്. ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്: S₅ = 65, S₁₀ = 240
തുകയുടെ സൂത്രവാക്യം: Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
5 പദങ്ങൾക്ക്: 65 = 5/2 [2a + 4d]
26 = 2a + 4d ...(1)
10 പദങ്ങൾക്ക്: 240 = 10/2 [2a + 9d]
48 = 2a + 9d ...(2)
(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ:
22 = 5d
അതിനാൽ, d = 4.4
d = 4.4 (1) ൽ നൽകുമ്പോൾ:
26 = 2a + 4(4.4)
26 = 2a + 17.6
8.4 = 2a
അതിനാൽ, a = 4.2
ഉത്തരം: ആദ്യപദം = 4.2, സമാന വ്യത്യാസം = 4.4
| Formula | Description | When to Use |
|---|---|---|
| aₙ = a + (n-1)d | nth term of arithmetic sequence | To find any term when first term and common difference are known |
| d = (aₙ - a₁)/(n-1) | Common difference | To find common difference when any two terms are known |
| Sₙ = n/2[2a + (n-1)d] | Sum of n terms | To find sum when first term and common difference are known |
| Sₙ = n/2(a₁ + aₙ) | Sum of n terms | To find sum when first and last terms are known |
| സൂത്രവാക്യം | വിവരണം | എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കണം |
|---|---|---|
| aₙ = a + (n-1)d | സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ n-ആം പദം | ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും അറിയാമെങ്കിൽ ഏത് പദവും കണ്ടെത്താൻ |
| d = (aₙ - a₁)/(n-1) | സമാന വ്യത്യാസം | രണ്ട് പദങ്ങൾ അറിയാമെങ്കിൽ സമാന വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ |
| Sₙ = n/2[2a + (n-1)d] | n പദങ്ങളുടെ തുക | ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും അറിയാമെങ്കിൽ തുക കണ്ടെത്താൻ |
| Sₙ = n/2(a₁ + aₙ) | n പദങ്ങളുടെ തുക | ആദ്യപദവും അവസാന പദവും അറിയാമെങ്കിൽ തുക കണ്ടെത്താൻ |
In the sequence: 5, __, 15, __, 25, find the missing terms.
Step 1: Find the common difference
From 5 to 15, there are 2 steps, so:
15 - 5 = 10
10 ÷ 2 = 5 (common difference)
Step 2: Find the missing terms
First missing term: 5 + 5 = 10
Second missing term: 15 + 5 = 20
Answer: The sequence is 5, 10, 15, 20, 25
A student's test scores form an arithmetic sequence. If the first test score is 65 and the common difference is 5, what will be the score in the 6th test?
Given: a = 65, d = 5, n = 6
Using the formula: aₙ = a + (n-1)d
a₆ = 65 + (6-1)5
a₆ = 65 + 25
a₆ = 90
Answer: The 6th test score will be 90
5, __, 15, __, 25 എന്ന ശ്രേണിയിൽ വിട്ടുപോയ പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
ഘട്ടം 1: സമാന വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക
5 മുതൽ 15 വരെ 2 ഘട്ടങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ:
15 - 5 = 10
10 ÷ 2 = 5 (സമാന വ്യത്യാസം)
ഘട്ടം 2: വിട്ടുപോയ പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
ആദ്യ വിട്ടുപോയ പദം: 5 + 5 = 10
രണ്ടാം വിട്ടുപോയ പദം: 15 + 5 = 20
ഉത്തരം: ശ്രേണി 5, 10, 15, 20, 25 ആണ്
ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ പരീക്ഷാ മാർക്കുകൾ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി ആയി വരുന്നു. ആദ്യ പരീക്ഷയിൽ 65 മാർക്കും സമാന വ്യത്യാസം 5 ഉം ആണെങ്കിൽ, 6-ആം പരീക്ഷയിൽ എത്ര മാർക്ക് ലഭിക്കും?
തന്നിരിക്കുന്നത്: a = 65, d = 5, n = 6
സൂത്രവാക്യം: aₙ = a + (n-1)d
a₆ = 65 + (6-1)5
a₆ = 65 + 25
a₆ = 90
ഉത്തരം: 6-ആം പരീക്ഷയിൽ 90 മാർക്ക് ലഭിക്കും
In an arithmetic sequence, if the first term is 5 and the common difference is 3, find:
Given:
1. To find first 5 terms:
2. To find 10th term:
Using formula: aₙ = a + (n-1)d
a₁₀ = 5 + (10-1)3
a₁₀ = 5 + 9(3)
a₁₀ = 5 + 27 = 32
Find the sum of first 15 terms of an arithmetic sequence with first term 4 and common difference 2.
Given:
Using sum formula: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]
S₁₅ = 15/2[2(4) + (15-1)2]
S₁₅ = 15/2[8 + 28]
S₁₅ = 15/2[36]
S₁₅ = 270
If the sum of first 4 terms is 20 and the sum of next 4 terms is 36, find the first term and common difference.
Let's solve this step by step:
1. Let's write what we know:
2. Using sum formula for first 4 terms:
20 = 4/2[2a + (4-1)d]
20 = 2[2a + 3d] ... (1)
10 = 2a + 3d
3. For terms 5 to 8:
36 = 4[a + 4d + a + 7d]/2
36 = 2[2a + 11d] ... (2)
18 = 2a + 11d
4. From (1): 2a + 3d = 10
5. From (2): 2a + 11d = 18
6. Subtracting: 8d = 8
Therefore: d = 1
7. Substituting in (1):
2a + 3(1) = 10
2a = 7
a = 3.5
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ആദ്യപദം 5 ഉം സമാന വ്യത്യാസം 3 ഉം ആണെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക:
തന്നിരിക്കുന്നത്:
1. ആദ്യ 5 പദങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ:
2. 10-ആം പദം കണ്ടെത്താൻ:
സൂത്രവാക്യം: aₙ = a + (n-1)d
a₁₀ = 5 + (10-1)3
a₁₀ = 5 + 9(3)
a₁₀ = 5 + 27 = 32
ആദ്യപദം 4 ഉം സമാന വ്യത്യാസം 2 ഉം ആയ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ 15 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക.
തന്നിരിക്കുന്നത്:
തുകയുടെ സൂത്രവാക്യം: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]
S₁₅ = 15/2[2(4) + (15-1)2]
S₁₅ = 15/2[8 + 28]
S₁₅ = 15/2[36]
S₁₅ = 270
ആദ്യ 4 പദങ്ങളുടെ തുക 20 ഉം അടുത്ത 4 പദങ്ങളുടെ തുക 36 ഉം ആണെങ്കിൽ ആദ്യപദവും സമാന വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക.
ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
1. നമുക്ക് അറിയാവുന്നത്:
2. ആദ്യ 4 പദങ്ങൾക്ക് തുകയുടെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ:
20 = 4/2[2a + (4-1)d]
20 = 2[2a + 3d] ... (1)
10 = 2a + 3d
3. 5 മുതൽ 8 വരെയുള്ള പദങ്ങൾക്ക്:
36 = 4[a + 4d + a + 7d]/2
36 = 2[2a + 11d] ... (2)
18 = 2a + 11d
4. (1) ൽ നിന്ന്: 2a + 3d = 10
5. (2) ൽ നിന്ന്: 2a + 11d = 18
6. കുറയ്ക്കുമ്പോൾ: 8d = 8
അതിനാൽ: d = 1
7. (1) ൽ d = 1 ചേർക്കുമ്പോൾ:
2a + 3(1) = 10
2a = 7
a = 3.5
Answer all questions. Each question carries 5 marks.
In an arithmetic sequence, the 4th term is 13 and the 8th term is 25. Find:
Let's solve this step by step:
Therefore:
The sum of first 20 terms of an arithmetic sequence is 400. If the first term is 5, find:
Let's solve this step by step:
Therefore:
In an arithmetic sequence, the sum of the first 5 terms is 35 and the sum of the next 5 terms is 60. Find:
Let's solve this step by step:
Therefore:
In a theater, the first row has 20 seats, and each subsequent row has 2 more seats than the previous row. If there are 15 rows in total:
Let's solve this step by step:
Therefore:
എല്ലാ ചോദ്യങ്ങൾക്കും ഉത്തരം എഴുതുക. ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 5 മാർക്ക് വീതം.
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ 4-ആം പദം 13 ഉം 8-ആം പദം 25 ഉം ആണ്. കണ്ടെത്തുക:
നമുക്ക് ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
അതിനാൽ:
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ 20 പദങ്ങളുടെ തുക 400 ആണ്. ആദ്യപദം 5 ആണെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക:
നമുക്ക് ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
അതിനാൽ:
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ, ആദ്യത്തെ 5 പദങ്ങളുടെ തുക 35 ഉം അടുത്ത 5 പദങ്ങളുടെ തുക 60 ഉം ആണ്. കണ്ടെത്തുക:
നമുക്ക് ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
അതിനാൽ:
ഒരു തിയേറ്ററിൽ, ആദ്യ നിരയിൽ 20 സീറ്റുകളും, ഓരോ അടുത്ത നിരയേക്കാൾ 2 സീറ്റുകൾ കൂടുതലും ഉണ്ട്. ആകെ 15 നിരകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ:
നമുക്ക് ഘട്ടം ഘട്ടമായി പരിഹരിക്കാം:
അതിനാൽ:
Next chapter in Kerala SSLC Mathematics
Stay tuned for comprehensive coverage of Polynomials!
കേരള SSLC ഗണിതത്തിലെ അടുത്ത അധ്യായം
ബഹുപദങ്ങളുടെ സമഗ്രമായ പഠനത്തിനായി കാത്തിരിക്കൂ!